Matemática em ação :): outubro 2015

segunda-feira, 12 de outubro de 2015

Componentes

Encerramos aqui nossas postagens no blog por esse mês, talvez mês que vem estaremos de volta :)
Beijos do nosso grupo pra vocês !!

domingo, 11 de outubro de 2015

Função Exponencial

Chama-se função exponencial a função

{\textstyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+^*}

tal que

{\textstyle f(x) = a^x }

em que

{\textstyle a\in\mathbb{R}}

{\textstyle 0 < a \neq 1}

. O número

a

é chamado de base da função. A função exponencial

{\textstyle f(x) = a^x }

pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se

{\textstyle a > 1 }

, a função é crescente. Caso

{\textstyle 0 < a < 1 }

a função é decrescente.

A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência aⁿ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é^[3] ,

{{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n},

Esta definição implica as seguintes propriedades:

$a^{n+m}=a^n a^m;$
$a^{nm}=\left(a^n\right)^m.$

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

$a^{0}=1,\quad \forall a\neq 0;$
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad \forall a\neq 0,~~n\in\mathbb{N};$
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}, \quad \forall a> 0,~~n\in\mathbb{N};$
$a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}, \quad \forall a> 0,~~n\in\mathbb{Z}~~m\in\mathbb{N}.$

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:^[4]

a^x=\sup_{\frac{n}{m}< x}a^{\frac{n}{m}},a>1;

a^x=\inf_{\frac{n}{m}< x}a^{\frac{n}{m}},a<1.

De fato, a função y = a^x é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

$f(x+y)=f(x)f(y);$
$f(1)=a.$

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:^[4]

$a^x = e^{\ln(a)x}.$

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

$a^{1} = a$
$a^{x + y} = a^x a^y, ~~ \forall x,y\in\mathbb{R}$

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

$a^{0} = \frac{a^{1+0}}{a^1}=\frac{a^{1}}{a^1}=1,$
$a^{-x} = \frac{a^{(-x)+x}}{a^x}=\frac{a^{0}}{a^x}=\frac1{a^x}, ~~ \forall x\in\mathbb{R}$

Continuação da Questão 13

Questão 13

sábado, 10 de outubro de 2015

Vídeo aula sobre Equação Exponencial .

Obs : No vídeo contém algumas questões da lista de matemática que foram resolvidos !!

Beijos e até a próxima :)

Exercícios - Função Exponencial

Exercícios Resolvidos

1) (Fatec-SP - Adaptada) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a x anos, por . Determine a população referente ao terceiro ano.

A população referente ao 3º ano é de 19.875 habitantes.

2) (PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r jm a partir do seu centro é dado por P(r) = k * 2^3r, em que k é constante e r > 0. Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?

P(r) = k * 2^3r

98 304 = k * 2 ^3*5

98 304 = k * 215

98 304 = k * 32 768

k =98 304 / 32 768

k = 3

Calculando o número de habitantes num raio de 3 km

P (r) = k * 2^3r

P (3) = 3 * 2^3*3

P (3) = 3 * 29

P (3) = 3 * 512

P(3) = 1536

O número de habitantes num raio de 3 km é igual a 1536.

Estudando sinal da função afim e quadrática

Vídeo aula

( Estudo do sinal da função afim e quadrática ) feito pela aluna Luana Cerqueira que

também faz parte da coordenação do blog :)

É isso,espero que vocês aprendam , entendam e comentem o que acharam ...

Até a próxima !!

Link para ver no Youtube : https://www.youtube.com/watch?v=yBzINjIwVf8

segunda-feira, 5 de outubro de 2015

Olá pessoal , aqui está uma vídeo aula tirado do canal " ME SALVA " , esse vídeo vai ajudar bastante vocês a aprenderem a igualar as bases e etc...

Espero que vocês gostem :)

LINK DO CANAL https://www.youtube.com/channel/UCWv7JMNjrWlVtkiBmygefHQ

quinta-feira, 1 de outubro de 2015

Função Exponencial

A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 ^x
y = 3 ^{x + 4}
y = 0,5 ^x
y = 4^x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1 :

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v₀ * 2 ^–0,2*10

12 000 = v₀ * 2 ^–2

12 000 = v₀ * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v₀

v₀ = 12 000 * 4

v₀ = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

Exemplo 2 :

(Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 ^{x² – 4} e g(x) = 4 ^{x² – 2x}, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2^x é:

resposta : Como queremos que x satisfaça a igualdade f(x) = g(x), vamos substituir cada uma das funções na igualdade:

f(x) = g(x)

2 ^{x² – 4} = 4 ^{x² – 2x}

Utilizando as propriedades de potenciação, podemos reescrever o segundo membro da equação:

2 ^{x² – 4} = (2²)^{x² – 2x}

2 ^{x² – 4} = 2^{2(x² – 2x)}

2 ^{x² – 4} = 2^{2x² – 4x}

Fazendo uso do princípio básico de resolução de equação exponencial, se as bases são iguais, podemos estabelecer uma nova igualdade apenas com os expoentes. Teremos então:

x² – 4 = 2x² – 4x

x² – 4x + 4 = 0

Utilizando a Fórmula de Bhaskara, faremos:

∆ = b² – 4.a.c

∆ = (– 4)² – 4.1.4

∆ = 16 – 16

∆ = 0

x = – b ± √∆
2.a

x = – (– 4) ± √0
2.1

x = 4 ± 0
2

x = 2

O exercício pede que encontremos o valor de 2^x, como x = 2, temos que 2^x = 2² = 4.