Função Exponencial

A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 ^x
y = 3 ^{x + 4}
y = 0,5 ^x
y = 4 ^x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

                                    f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

                                       

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1 :

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v₀ * 2 ^–0,2*10

12 000 = v₀ * 2 ^–2

12 000 = v₀ * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v₀

v₀ = 12 000 * 4

v₀ = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

Exemplo 2 : 

(Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 ^{x² – 4} e g(x) = 4 ^{x² – 2x}, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2^x é:

resposta  : Como queremos que x satisfaça a igualdade f(x) = g(x), vamos substituir cada uma das funções na igualdade:

f(x) = g(x)

2 ^{x² – 4} = 4 ^{x² – 2x}

Utilizando as propriedades de potenciação, podemos reescrever o segundo membro da equação:

2 ^{x² – 4} = (2²)^{x² – 2x}

2 ^{x² – 4} = 2^{2(x² – 2x)}

2 ^{x² – 4} = 2^{2x² – 4x}

Fazendo uso do princípio básico de resolução de equação exponencial, se as bases são iguais, podemos estabelecer uma nova igualdade apenas com os expoentes. Teremos então:

x² – 4 = 2x² – 4x

x² – 4x + 4 = 0

Utilizando a Fórmula de Bhaskara, faremos:

∆ = b² – 4.a.c

∆ = (– 4)² – 4.1.4

∆ = 16 – 16

∆ = 0

x = – b ± √∆
      2.a

x = – (– 4) ± √0
     2.1

x = 4 ± 0
​     2

x = 2

O exercício pede que encontremos o valor de 2^x, como x = 2, temos que 2^x = 2² = 4.