Matemática em ação :): Função Exponencial

domingo, 11 de outubro de 2015

Função Exponencial

Função Exponencial

Chama-se função exponencial a função

{\textstyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+^*}

tal que

{\textstyle f(x) = a^x }

em que

{\textstyle a\in\mathbb{R}}

,

{\textstyle 0 < a \neq 1}

. O número

a

é chamado de base da função. A função exponencial

{\textstyle f(x) = a^x }

pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se

{\textstyle a > 1 }

, a função é crescente. Caso

{\textstyle 0 < a < 1 }

a função é decrescente.

A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência aⁿ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é^[3] ,

{{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n},

Esta definição implica as seguintes propriedades:

$a^{n+m}=a^n a^m;$
$a^{nm}=\left(a^n\right)^m.$

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

$a^{0}=1,\quad \forall a\neq 0;$
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad \forall a\neq 0,~~n\in\mathbb{N};$
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}, \quad \forall a> 0,~~n\in\mathbb{N};$
$a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}, \quad \forall a> 0,~~n\in\mathbb{Z}~~m\in\mathbb{N}.$

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:^[4]

a^x=\sup_{\frac{n}{m}< x}a^{\frac{n}{m}},a>1;

a^x=\inf_{\frac{n}{m}< x}a^{\frac{n}{m}},a<1.

De fato, a função y = a^x é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

$f(x+y)=f(x)f(y);$
$f(1)=a.$

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:^[4]

$a^x = e^{\ln(a)x}.$

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

$a^{1} = a$
$a^{x + y} = a^x a^y, ~~ \forall x,y\in\mathbb{R}$

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

$a^{0} = \frac{a^{1+0}}{a^1}=\frac{a^{1}}{a^1}=1,$
$a^{-x} = \frac{a^{(-x)+x}}{a^x}=\frac{a^{0}}{a^x}=\frac1{a^x}, ~~ \forall x\in\mathbb{R}$

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